异步电机双笼转子导条集肤效应的计算

发布于：2007/6/20 8:58:06 | 1745 次阅读

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摘要：为解决因异步电机转子内、外笼采用不同电阻率的导条而用传统的解析方法无法计算集肤效应的问题，提出了一种准确性与有限元法相当而计算要简单得多的数值计算方法。该方法先把双笼转子导条分为4个半圆块，再在每块中分成若干层，以计算各层自身及相互间的参数为基础，列写出用矩阵形式表示的支路电压方程。通过矩阵运算，推导了各层电流间的相互关系，计算了考虑集肤效应时的导条损耗与槽漏磁场能量，由等值交流电与直流电情况下的损耗之比得出电阻增大系数、漏磁场能量之比得出漏感减小系数。给出了算例的计算结果并说明了该方法的有效性。
关键词：集肤效应；异步电机；双笼转子

1 引言

笼型转子异步电机由于转子边不能外串电阻，因而具有较差的起动性能。为克服该类电机固有的缺点，异步电机转子槽常设计成特殊的形状，这是充分利用集肤效应，使得电机转子电阻的起动瞬间之值大于正常运行之值，从而降低了起动电流，提高了起动电磁转矩，即改善了起动性能指标。双笼转子异步电机就采用了特殊形状的转子，这种电机在转子上装有两套并联的鼠笼，外笼导条面积小，所用材料电阻率较高；内笼导条面积大，所用材料电阻率较低。起动时，转子电流频率高，由于集肤效应，电流大多集中于外笼，外笼起主要作用；运行时，转子电流频率很低，电流密度在整个导条上近似均匀分布，电流大多集中于电阻值较小的内笼，内笼起主要作用。因此，双笼异步电机既能在起动时用较大的电阻值，以改善起动性能；又能在正常运行时有较小的转子电阻值，不致过多影响电机的运行效率。

异步电机在起动瞬间，转子的电流频率为基频，当定子边采用变频电源时，转子中还会出现高频电流。由于集肤效应，转子导条电阻和槽漏感随转子电流频率的不同而变化，所以，准确计算随频率变化的转子参数值很有必要，这是电机的运行性能指标计算的基础。

传统解析法计算集肤效应对转子参数影响的过程如下：首先计算对应直流电流的转子导条电阻和槽漏感，然后把不同形状的转子槽等效成相同高度的矩形槽，再用公式^[1]计算等效矩形槽的电阻增大系数和电感减小系数，把对应直流电流的参数值与相应的系数相乘，得出计及频率影响的转子参数值。由于双笼转子异步电机转子槽中两个导条的电阻率大小不等，上述的方法并不适用，况且不同形状的槽等效成矩形槽本身理论依据不足，因此，计算双笼转子集肤效应常用的这一方法在某些情况下会带来较大的误差。目前，用有限元法能成功地解决准确性的问题^[2,3]，但有限元法处理边界条件麻烦、编程复杂，且有计算结果对物理规律的揭示不太明显等缺点。

本文采用一种新的方法计算考虑集肤效应时的转子导条电阻增大系数和槽漏感减小系数。新方法以解析法为基础，推导过程中物理概念清晰，同时通过简单的编程，借助计算机的数值计算，得出相当准确的结果。与文献[4]不同，本文不仅要考虑两种电阻率不等的导条，而且要用矩阵分析方法推导出相应的方程式，旨在提供更为规范的分析计算方法。

2 双笼转子导条的分层

转子槽中的导条分块后再分层是本文所用计算方法的基础。为了计算方便，在每一转子单元块中须在沿高度的方向上均匀分层，当每层的高度足够小时，可以把该薄层等效成等高的矩形层，且认为电流密度在此层导条中处处相等，即不考虑薄层导条本身的集肤效应。单元块的高度除以该块中所分的层数设为等效矩形层的高度；薄层导条中位线所对应的宽度设为等效矩形层的宽度。

图1为异步电机双笼转子示意图，其中内、外笼中均插有圆导条。为方便起见，在具体的分析

计算过程中，槽口与两槽连接处的高度与宽度均忽略不计，并认为圆导条紧贴槽内壁。从便于计算薄层中位线的宽度考虑，分块时以半圆块为基本单元块，则双笼转子导条从槽底向槽顶共分4块。设每块中所分的层数分别为n₁、n₂、n₃、n₄，总层数即为N= n₁+ n₂+ n₃+ n₄。因在每一单元块中各层的高度相等，不难根据半圆形状的几何关系得出每层中位线的宽度，即等效矩形层的宽度。从槽底向槽顶第i层的高度和宽度分别用h_i和w_i表示。

3 集肤效应系数计算公式

3.1 概述

本文中的集肤效应系数具体为转子导条电阻增大系数与转子槽漏感减小系数。当转子导条中流过直流电时，电流在整个导条上均匀分布，此时的导条电阻与槽漏感称为直流电阻与直流漏感；当导条中流过交流电时，集肤效应使得电流在导条上分布不均匀，电流密度从槽底向槽顶由小变大，此时的导条电阻与槽漏感称为交流电阻与交流漏感。若流过转子导条的交流电流有效值与直流电流值相等，集肤效应使得两种情况下的转子导条损耗与漏磁场能量不相等。导条电阻增大系数定义为交流电阻与直流电阻的比值，即为上述两种情况下转子导条损耗之比；槽漏感减小系数定义为交流漏感与直流漏感的比值，即为上述两种情况下转子槽漏磁场能量之比。

转子导条经过分层处理后，导条的总损耗为每层损耗之和，槽的总漏磁场能量为每层漏磁场能量之和。因此，在考虑集肤效应的情况下，找出各层电流间的相互关系，进而求出各层的损耗和漏磁场能量是计算方法的关键步骤。

3.2 导条层电压方程

尽管双笼转子分内笼与外笼，但由于内、外笼导条的端部焊接在一起，分为N层后，各层间仍相互并联。这样，N层导条就构成了有2个节点、N条支路的网络。因并联的各层导条端电压相等，则有下列的矩阵方程

电压；Z_ii为第i层导条的自阻抗；Z_ij为第i层导条与第j层导条间的互阻抗。

Z_ii的实部与虚部分别为第i层导条自身的电阻R_ii和漏抗X_ii；Z_ij的实部为0，虚部为第i层导条与第j层导条的互感漏抗X_ij。如前所述，薄层本身的集肤效应忽略不计。

3.3 各层参数计算公式

在计算各层参数时，作出如下假设：① 不计铁心磁阻，即认为磁势全部消耗在转子槽中；② 槽中的磁力线与槽的对称中心线垂直。

（1）第i层导条电阻

第i层导条已等效成矩形导条，其电阻为

式中 l为转子导条的轴向长度；r_i为第i层导条的电阻率。

（2）第i层导条自感漏抗

第i层导条自漏感^[4]

式中 m为转子导条的磁导率。

若交流电的频率为f，则第i层导条的自感漏抗为

（3）第i层导条与第j层导条的互感漏抗

从槽底向槽顶第i层导条与第j层导条互漏感分j<i与j>i两种情况考虑，其表达式为^[4]

则第i层导条与第j层导条的互感漏抗为
X_ij=2πfM_ij

3.4 各层电流计算公式

上面已求出了R_ii、X_ii、X_ij，则方程式(1)左边复系数矩阵中的元素已全部确定，各层电流间的相互关系也可据此得出。

现将方程式(1)的两边左乘下列N阶可逆方阵（空白处元素全为0）

方程式(1)化为式(8)。

因为Z_ij=jX_ij=j2pf M_ij，当j>i时，由式(5)可知M_ij与i无关，即Z_ij只与j有关而与i无关。所以，在方程式(8)左边的系数矩阵中，第1行中后N-2个元素为0；第2行中后N-3个元素为0；以此类推，第N-2行中1个元素为0。

去掉方程式(8)中1行，把第1列从等式左边移到等式右边，并把左边系数矩阵中相应元素用0代入，此方程可化为式(9)。

方程式(9)中左边的系数矩阵是(N-1)阶左下三角阵，其逆矩阵也是左下三角阵并可用很简单的方法求之，即

因此，各层电流间的相互关系可用下列方程表示

从式(11)可以看出均可用第1层电流Ì₁表示，而流过导条的总电流为各层

电流之和，则总电流也可用第1层电流表示。因此，各层电流之间的比值只与导条的材料、形状及流过电流的频率有关，而与电流的大小无关。进一步分析可知，集肤效应系数同样与电流大小无关。为计算的方便且不失一般性，可令第1层的电流为1，则其它各层电流不难从方程式(11)求得。

3.5 集肤效应系数

根据已求出的各层电流可知流过导条的总电流为

式中 R为每槽中双笼导条的总电阻（不考虑端环处电阻）。

计及集肤效应时，导条的总损耗为每层损耗之和，即

不计集肤效应时，电流在导条截面上均匀分布，各层电流相位相同、有效值与该层面积成正比，在已知总电流，总面积及各层面积的情况下，不难求得各层电流有效值，其大小分别用I_d₁、I_d₂、…、I_d_N表示。第i层导条中位线处磁力线所包围的电流有效值为

总漏磁场能量^[5]

计及集肤效应时，与第i层导条中位线重合的磁力线所包围的电流为

4 例算结果及分析

根据上面推导的计算公式，用擅长矩阵运算与复数运算的MATLAB语言编程对某一异步电机双笼转子的集肤效应系数进行了计算。算例为图1所示的转子槽，内笼半径r₁=1cm，外笼半径r₂=0.5cm，内笼紫铜导条电阻率r₁=2.17×10^-8W·m，外笼黄铜导条电阻率r₂=8.04×10^-8 W·m，磁导率= 4p×10^-7H/m。考虑到集肤效应使内笼电流密度小，外笼电流密度大的特点，分块分层计算时，内笼每层的高度为0.002cm，外笼每层的高度为0.001cm，这样，从槽底到槽顶的4个半圆形单元块中，每块均分成500层。

表1给出了对应不同频率f下的电阻增大系数K_R和漏电感减小系数K_L。从表中可以看出：电机起动瞬间，即转子电流频率为50Hz时，由于集肤效应，转子电阻相当于直流电阻的4.418倍，这将降低电机起动电流，提高起动转矩，从而大大改善了电机的起动性能；而异步电机正常运行时，转差率小于0.1，即转子电流频率小于5Hz，此时的转子导条电阻与槽漏电感已很接近直流值。

5 结语

本文中集肤效应系数的数值计算方法建立于解析法的基础之上。在计算过程中，首先给异步电机双笼转子导条分块与分层，再求取各层的参数，

进而列写出各层导条的电压方程式。由于方程式以矩阵形式表示，可通过矩阵运算得出各层电流间的相互关系，根据不同情况下导条电阻的损耗之比和漏磁场能量之比求得电阻增加系数与漏电感减小系数。

文中所用方法简单、方便，物理概念明确，能够处理某些用传统解析方法无法解决的问题，且在计算的准确性方面可与有限元法媲美。若用MATLAB语言编程，程序本身也非常简单。因此，本文的集肤效应系数的计算方法可作为一种有效的实用计算方法。

参考文献

[1] 陈世坤（Chen Shikun）．电机设计（Electric machine design）[M]．北京：机械工业出版社（Beijing：Mechanical Industry Press），1990．

[2] Williamson S，Begg M C．Calculation of the resistance and leakage reactance of cage rotors with closed slot[J]．IEE Electric Power Applications，1985，132(3)：125-132．

[3] Williamson S，Robinson M．Calculation for bar resistance and leakage reactance of cage rotors[C]．Third International Conference on Electrical Machines and Drives，London，1987．

[4] 吴新振，刘玉明，徐世许，等（Wu Xinzhen，Liu Yuming，Xu Shixu， et al）．计及频率影响时单相异步电机转子参数的数值计算（Numerical calculation on rotor parameters of single-phase induction motors considering frequency）[J]．电工技术学报（Transactions of China Electrotechnical Society），1999，14(6)：15-19．

[5] 孙敏，孙亲锡，叶齐政（Sun Min，Sun Qinxi，Ye Qizheng）．工程电磁场基础（Engineering electromagnetic field）[M]．北京：科学出版社（Beijing：Science Press）， 2001．

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